連続の式 (流体)の導出
微分形の導出
微小立方体に微小時間の間に出入りする流体の質量と質量変化の和を考える
微小長方形領域内の質量変化を調べ、運動量保存則を用いて立式する 簡単のため、二次元流れで説明する
3次元でも同様
質量変化の要因は、境界からの流出と、領域内部の流体自体の質量変化の2つがある
境界からの流出
x軸
https://kakeru.app/a3d149c22654caed2f490688efded774 https://i.kakeru.app/a3d149c22654caed2f490688efded774.svg
x軸に直行する面から出ていく質量は$ \underbrace{\rho(x+\mathrm{d}x,y,t)}_{密度}\underbrace{u_x(x+\mathrm{d}x,y,t)\mathrm{d}t\mathrm{d}y}_{体積}-\underbrace{\rho(x,y,t)}_{密度}\underbrace{u_x(x,y,t)\mathrm{d}t\mathrm{d}y}_{体積}=\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}t\mathrm{d}yとなる
今は二次元で考えているので、体積に相当する次元は面積になっている
y軸
https://kakeru.app/e5ee8ff401634ede4240ecc3bacf34ea https://i.kakeru.app/e5ee8ff401634ede4240ecc3bacf34ea.svg
y軸に直行する面から出ていく質量は$ \rho(x,y+\mathrm{d}y,t)u_y(x,y+\mathrm{d}y,t)\mathrm{d}t\mathrm{d}x-\rho(x,y,t)u_y(x,y,t)\mathrm{d}t\mathrm{d}x=\frac{\partial \rho u_y}{\partial x}\mathrm{d}y\mathrm{d}t\mathrm{d}xとなる
領域内部の質量変化
$ \frac{\partial \rho}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}x\mathrm{d}y
$ \underbrace{\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}t\mathrm{d}y+\frac{\partial \rho u_y}{\partial x}\mathrm{d}y\mathrm{d}t\mathrm{d}x}_{境界から出ていく質量}+\underbrace{\frac{\partial \rho}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}x\mathrm{d}y}_{領域内で増える質量}=0
$ \underline{\iff\pmb{\nabla}\cdot(\rho\pmb{u})+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0\quad}_\blacksquare
導出では正規直交基底を使ったが、↑の太字記法による式は基底に依存しないので、任意の基底で成立する
$ \iff\rho\pmb{\nabla}\cdot\pmb{u}+\pmb{u}\cdot\pmb{\nabla}\rho+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0
$ \iff\rho\pmb{\nabla}\cdot\pmb{u}+\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}=0
$ \underline{\iff\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}+\rho\pmb{\nabla}\cdot\pmb{u}=0\quad}_\blacksquare
補足
EulerとLagrangeの相互変換ができる